Pseudometrizable convergence（Definition X.9.6）／📐 Proposition X.9.7・Corollary X.9.8
- Pseudometrizable convergence（Definition X.9.6）／📐 Proposition X.9.7・Corollary X.9.8 #Card
- 擬距離化可能性の定義と、位相が関数的始収束であることとの同値性は。
擬距離: cards/topology/metric の公理から「$d(x,y)=0\implies x=y$」を除いたもの。$\xi$ が pseudometrizable :⟺ 擬距離の族 $\mathcal{D}$ で $x\in\lim_\xi\mathcal{F} \iff \forall d\in\mathcal{D},\ \inf_\mathcal{F}\sup_F d(x,\cdot)=0$。距離化可能と異なり Hausdorff とは限らない。
Prop X.9.7: 位相が pseudometrizable $\iff$ cards/topology/functionally-initial-topology（functionally initial）。（$\Rightarrow$: $d_x(y):=d(x,y)$ が連続で Prop X.9.1 の条件を満たす。$\Leftarrow$: 有限部分族 $F\subset_{\mathrm{fin}}C(\xi,\nu)$ ごとに $d_F(x,y):=\max_{f\in F}|f(x)-f(y)|$ という擬距離の族が $R^\nu_\xi$ を決定。）
Cor X.9.8: functionally regular $\iff$ pseudometrizable（Thm X.9.5 と合わせて3者同値: 関数的正則 = 関数的始収束 = 擬距離化可能）。
Cor X.9.9: 単位区間 $I=[0,1]$ でも同じ議論が成り立つ（$C(\xi,\nu)$ の代わりに $C(\xi,I)$）— 次カードの Tikhonov 立方体の下準備。