$\xi$-compactoid（Definition XII.2.1）

• $\xi$-compactoid（Definition XII.2.1） #Card
  • 位相 $\xi$ に対する compactoid（相対コンパクト）の定義は。コンパクトとの関係、閉包との関係は。

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$\xi$ が位相のとき、$A\subset X$ が $\xi$-compactoid（relatively $\xi$-compact）:⟺ $A\in\mathcal{H}^#$ となる任意のフィルター $\mathcal{H}$ に対し $\operatorname{adh}_\xi\mathcal{H}\neq\emptyset$。

• 各 compactoid 閉集合はコンパクト。
• しかし compactoid 集合の閉包は compactoid とは限らない（cards/topology/compactoid-not-closure-compactoid 参照）。

「コンパクトの部分集合版」であり、コンパクト性が閉包を取る操作と両立しない反例が次に来る。

Meaning

XII.2 の compactoid は、compact を「部分集合レベル」で運用するための概念として導入される。著者はここで、compact そのものと relative compactness を分離し、後続の局所コンパクト性・埋め込み・Stone–Čech の議論で使う中間語彙を整備する。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp12-2024-compact-topologies.pdf p.255–256