Completion（Definition X.5.1）／📐 Theorem X.5.2（Hausdorff：完備化の存在）
- Completion（Definition X.5.1）／📐 Theorem X.5.2（Hausdorff：完備化の存在） #Card
- 距離空間の完備化の定義と、2通りの構成（関数空間への等長埋め込み、Cauchy列の同値類）の要点は。
Completion: 距離空間 $(X,d)$ の完備化 := $(X,d)$ が稠密部分空間として等長に埋め込まれる完備距離空間 $(\hat X,\hat d)$。
Thm X.5.2（Hausdorff）: 任意の距離空間は完備化を持つ。
構成1（関数空間埋め込み）: $a\in X$ を固定し $f_x(y):=d(x,y)-d(y,a)$ とすると $f_x$ は有界連続、$x\mapsto f_x$ は $C_b(X,\mathbb{R})$（一様収束距離）への等長埋め込み（cards/topology/uniform-convergence-metrizable Prop X.3.14 で完備）。像の閉包が完備化。
構成2（Kuratowski、Cauchy 列の同値類）: $S(X,d)$ = Cauchy 列全体、$\varphi\approx\psi :\iff d(\varphi(n),\psi(n))\to0$。$\hat d(\varphi,\psi):=\lim_n d(\varphi(n),\psi(n))$ で同値類の空間が完備距離空間。定数列 $j(x)$ の埋め込みが稠密（Cauchy 列は自身の後半部分に収束する定数近似列で近似できる）。
$\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ の完備化の典型例（cards/topology/completely-metrizable-topology Example X.4.17 の反例と対）。
UniformSpace.Completion。