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Completely metrizable topology（定義）／📐 Proposition X.4.4・X.4.9〜X.4.14

  • Completely metrizable topology（定義）／📐 Proposition X.4.4・X.4.9〜X.4.14 #Card
    • 完備距離化可能位相の定義と、閉部分・開部分・積・一様収束位相での保存則は。$\mathbb{Q}$ が反例になる理由は。

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位相が completely metrizable :⟺ 適合する完備距離が存在する（同じ位相に非完備な適合距離が共存してもよい、Example X.4.8: ${2^{-n}}$ の離散位相で通常距離は非完備・離散距離は完備）。

  • Prop X.4.4: 完備距離空間の閉部分空間は完備。開部分空間も完備距離化可能（$\xi\times\nu_\mathbb{R}$ への埋め込み経由、Lemma X.10.4）。
  • Prop X.4.9: 距離化可能なコンパクト位相の適合距離は自動的に完備（Cauchy 列が収束部分列を持つので Cor X.4.2）。
  • Prop X.4.10・Cor X.4.11: 可算積が完備距離化可能 $\iff$ 各成分が完備距離化可能（cards/topology/countable-product-metrizable の完備版）。Baire 空間は完備距離化可能。
  • Prop X.4.14: cards/topology/uniform-convergence-metrizable の一様収束位相は常に完備距離化可能。

Example X.4.17（$\mathbb{Q}$ は完備距離化不可能）: $\mathbb{Q}=\bigcup{q_n}$（可算個の閉集合、内部空）が cards/topology/completely-metrizable-topology なら Baire カテゴリー定理（次カード）に矛盾。