Uniform continuity（Definition X.5.4）／📐 Theorem X.5.7（稠密部分からの一様連続拡張）
- Uniform continuity（Definition X.5.4）／📐 Theorem X.5.7（稠密部分からの一様連続拡張） #Card
- 一様連続の定義と、完備な値域への一様連続写像が稠密部分から全体へ延長できることの証明の骨子は。
$f\in Y^X$ が uniformly continuous（$f\in U(d_X,d_Y)$）:⟺ $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ (d_X(x_0,x_1)<\delta\implies d_Y(f(x_0),f(x_1))<\varepsilon)$。等長写像・Lipschitz 写像は一様連続。$f_0(x)=x^2$ は連続だが一様連続でない反例。
振動 $\omega_V(f,x):=\inf{\operatorname{diam}f(O):O\in\mathcal{N}_\xi(x)}$（$V$ 稠密部分での値）。$\Omega_V(f):={\omega_V(f,\cdot)=0}$ は $G_\delta$ 集合（cards/topology/g-delta-f-sigma-sets）。
Prop X.5.3・X.5.6: 値域が完備、$V$ が稠密なら $f\vert_V$ は $\Omega_V(f)$（一様連続なら $\Omega_V(f)=X$、Prop X.5.6）まで連続に延長できる。
Thm X.5.7: 稠密部分からの一様連続写像は、完備な値域への一様連続な拡張を持つ（「ほぼ同じ rate」で）。
Cor X.5.8: 稠密部分からの等長写像は一意な等長写像に延長できる — cards/topology/metric-completion-theorem の一意性の裏付け。