Upper/lower hyperlimit と $[\xi,\$_0]$／$[\xi,\$_0]^\#$（(XII.9.1)-(XII.9.2)、Prop XII.9.2・XII.9.5）
- Upper/lower hyperlimit と $[\xi,$_0]$／$[\xi,$_0]^#$（(XII.9.1)-(XII.9.2)、Prop XII.9.2・XII.9.5） #Card
- 「超集合（部分集合の集合）」上の収束をどう定義するか。関係の graph-closed 性・下半連続性との対応は。
$\xi$ が位相、$\mathcal{F}$ が $2^X$ 上のフィルターのとき、upper／lower hyperlimit: $$\operatorname{Ls}\xi\mathcal{F}:=\bigcap{F\in\mathcal{F}}\operatorname{cl}\xi\Big(\bigcup{A\in F}A\Big),\qquad \operatorname{Li}\xi\mathcal{F}:=\bigcap{H\in\mathcal{F}^#}\operatorname{cl}\xi\Big(\bigcup{A\in H}A\Big)\ (\subset\operatorname{Ls}_\xi\mathcal{F}).$$
これで $2^X$（の閉集合族 $\mathcal{C}_\xi$）上の（前）収束 $[\xi,$0]$（$A_0\in\lim F\iff\operatorname{Ls}\xi F\subset A_0$、伝統的に upper/Kuratowski 収束）と、その双対 $[\xi,$0]^#$（lower Vietoris 位相、$A_0\in\lim F\iff A_0\subset\operatorname{Li}\xi F$）が定まる。
Prop XII.9.2: $\xi$ が位相なら $[\xi,$0]^#$ も位相（開部分基 $O^#:={A\in\mathcal{C}\xi: A#O}$、$O\in\mathcal{O}_\xi$）。
関係の下半連続性との対応（Prop XII.9.3・XII.9.5）: 多価写像 $R\subset X\times Y$ が $x_0$ で $(\xi,\tau)$-下半連続 $\iff R_{x_0}\in\lim_{[\tau,$0]^#}R\bullet[\mathcal{F}]$（任意の $x_0\in\lim_\xi\mathcal{F}$ で）。$R$ が graph-closed（$\operatorname{adh}\tau R[\mathcal{N}\xi(x_0)]\subset R_{x_0}$）$\iff R_{x_0}\in\lim_{[\tau,$0]}R\bullet[\mathcal{F}]$。連続写像のグラフ（$\tau$ が Hausdorff）は常に graph-closed。
upperSemicontinuousAt／Filter.limsup の集合値版（LowerSemicontinuousWithinAt の多価拡張に相当）。