Theorem X.8.5（*）：各連続関数が定数になる非自明な Hausdorff 正則位相
- Theorem X.8.5（*）：各連続関数が定数になる非自明な Hausdorff 正則位相 #Card
- cards/topology/hausdorff-regular-non-functionally-regular-example をさらに推し進めた、無限集合上の極端な反例の存在証明の骨子は。
主張: 無限集合上に Hausdorff・正則な位相で、あらゆる連続実数値関数が定数になるものが存在する（$C(\xi,\nu)={\text{定数}}$）。
構成の骨子（Lemma X.8.1 → Prop X.8.3 → Lemma X.8.4 の三段構え）:
- $A$（非可算）× $B$（可算）を組んだ空間 $H$ で、連続関数は $A$ の余可算部分で定数（cards/topology/functionally-closed-countable-intersection と同じ余可算論法）。
- 任意の Hausdorff 正則空間 $Z$ に対し、$Z$ を閉部分空間として含み「$Z$ 上の連続関数が必ず定数になる」空間 $Q(Z)$ を商構成で作る（Prop X.8.3）。
- $X_0:=$ 1点、$X_{n+1}:=Q(X_n)$ と繰り返し、$X_\infty:=\bigcup X_n$（終収束の合併、Lemma X.8.4）を取ると、各 $f\in C(X_\infty,\nu)$ は全ての $X_n$ 上で定数 → 全体で定数。
教訓: 位相的分離（Hausdorff・正則）と関数的分離は根本的に独立しうる — cards/topology/functionally-regular-topology という追加の公理が本質的に必要である理由の最も極端な実例。