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📐 概収束の可算台修正の擬位相化は測度収束より細かいとは限らない (Corollary XXII.9.25)

  • 📐 概収束の可算台修正の擬位相化は測度収束より細かいとは限らない (Corollary XXII.9.25) #Card
    • Example XXII.9.24 の構成から、$S(\mathbb{E}e_\mu)$ と $m_\mu$ の間にどんな非包含関係が従うか。

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概収束の可算台修正の擬位相化 $S(\mathbb{E}e_\mu)$ は測度収束 $m_\mu$ より細かい（finer）とは限らない。

cards/topology/example-xxii-9-24-everywhere-not-finer-uniform の $X$ 上のすべての自由フィルターは $0$ に測度収束するので $0\in\lim_{m_\mu}(\text{余有限フィルター})$。測度収束は $\mu$-a.e.-Hausdorff（cards/topology/filter-convergence-in-measure）なので極限は一意だが、超フィルター $\mathcal{U}A$（$A\neq\emptyset$）は $\chi_A\neq 0$ に概収束する。もし $S(\mathbb{E}e\mu)\geq m_\mu$ だったなら $\mathcal{U}A$ の $S(\mathbb{E}e\mu)$-極限（$\supset$ 概収束先 $\chi_A$）は $m_\mu$-極限（$0$ のみ、一意性）に含まれねばならず矛盾。

Prop XXII.9.15（$a_\mu\geq e_\mu$、列版）や Prop XXII.9.17（$a_\mu\geq m_\mu$）のような「素朴な収束は強い方に一直線に細かくなる」直感が、可算台修正・擬位相化という操作を経由すると壊れることを示す、本節のクライマックス的な反例。$E e_\mu\geq E a_\mu$（Prop XXII.9.15・9.17 経由で期待される）も、Prop XXII.9.15 から $Ea_\mu\geq Ee_\mu$ は従うが逆向きは不成立（本系）——つまり $Ee_\mu\not\geq Ea_\mu$ であり、$Ee_\mu$ は本節で唯一 sequentially founded にならない収束であることが確定する。