フィルターの測度収束 $\lim_{m_\mu}\mathcal{F}$ と $\mu$-a.e.-Hausdorff 性 (Definition XXII.9.16)
- フィルターの測度収束 $\lim_{m_\mu}\mathcal{F}$ と $\mu$-a.e.-Hausdorff 性 (Definition XXII.9.16) #Card
- $M$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $f_\infty$ に測度収束するとはどう定義し、なぜ $\mu$-a.e. の意味で Hausdorff になるか。
$M$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $f_\infty\in M$ に 測度収束（in measure） :⟺ $f_\infty\in\lim_{m_\mu}\mathcal{F}$ :⟺ 各 $\lambda,\varepsilon>0$ に対しある $F\in\mathcal{F}$ で $\mu{|f-f_\infty|\geq\lambda}<\varepsilon$（各 $f\in F$）。
$m_\mu$ は測度論的（$\varphi(h)=h$ a.e. なら $\mu{|\varphi(f)-\varphi(f_\infty)|\geq\lambda}=\mu{|f-f_\infty|\geq\lambda}$ だから明らか）。
$\mu$-a.e.-Hausdorff（$[m_\mu]\mu$ が Hausdorff）: $f\neq g$ $\mu$-a.e. なら、ある $S$（$\mu(S)>0$）で $S\cap{f=g}=\emptyset$、よって $S\subset\bigcup_n{|f-g|>2^{-n}}$ となり、ある $n$ で $\mu{|f-g|>2^{-n}}>0$。したがって同一のフィルターが $f$ と $g$ の両方に $m\mu$-収束することはできない。
商 $[m_\mu]_\mu$ が Hausdorff であることは、後の距離化定理（Cor XXII.9.19）の前提条件の一部。