Corollary IV.7.10 (連続写像のグラフは定義域と同相)
- Corollary IV.7.10 (連続写像のグラフは定義域と同相) #Card
- $f \in C(\xi, \tau)$ のときグラフ $\operatorname{gr}(f)$ はどんな収束か。
If $f \in C(\xi, \tau)$, then $\xi$ is homeomorphic to the restriction of $\xi \times \tau$ to $\operatorname{gr}(f) = {(x, f(x)) : x \in X}$.
- 背景（Prop IV.7.9）: $f \in C(\xi,\tau)$ が埋め込みで $g \in C(\xi,\theta)$ なら $f \triangle g \in C(\xi, \tau \times \theta)$ も埋め込み。$i_X \triangle f$ に適用するとグラフへの同相が出る。
- 同相写像は射影 $p_X|_{\operatorname{gr}(f)} = (i_X \triangle f)^{-1}$（Remark IV.10.12）。また $\operatorname{gr}(f) = (f \times i_Y)^- \triangle(Y)$。
証明の骨子（Prop IV.7.9 の系）. 恒等写像 $i_X \in C(\xi,\xi)$ は明らかに埋め込みで、$f \in C(\xi,\tau)$。Prop IV.7.9（埋め込み $\times$ 連続の対角積は埋め込み）を $i_X \triangle f$ に適用すると、$i_X \triangle f \in C(\xi,\ \xi \times \tau)$ は埋め込み。その像は $(i_X \triangle f)(X) = {(x, f(x)) : x \in X} = \operatorname{gr}(f)$。埋め込みは定義域とその像（部分収束 $\xi \times \tau|{\operatorname{gr}(f)}$）の間の同相なので、$\xi \approx (\xi \times \tau)|{\operatorname{gr}(f)}$。逆写像は射影 $p_X|_{\operatorname{gr}(f)}$。∎
位相の場合 Topology.IsEmbedding.graph（Continuous.isEmbedding_graph 相当）