📐 測度収束は完備である (Proposition XXII.9.8)

• 📐 測度収束は完備である (Proposition XXII.9.8) #Card
  • 測度収束の完備性をどう3つの既存の結果から組み立てるか。

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測度に関して fundamental な列は測度収束に関して完備。

証明: Lemma XXII.9.7 より、任意の測度 fundamental 列は概一様収束する部分列を持つ。概一様収束は測度収束を含意する（Lemma XXII.9.5）ので、その部分列は測度収束する。あとは古典的事実——cards/topology/cauchy-fundamental-filter（Cor X.4.2）「Cauchy 列が収束部分列を持てば列自身も収束する」——を測度収束に適用すれば、列自身も測度収束する。

3つの既存の結果（Lemma 9.7・Lemma 9.5・Cor X.4.2）を繋ぐだけで完備性が従う、という節全体の「ボトムアップに積み上げる」構成が典型的に表れる箇所。