Skip to content
Journals Garden

📐 Proposition VII.6.4（任意のフィルターはネットの像）・subnet

  • 📐 Proposition VII.6.4（任意のフィルターはネットの像）・subnet #Card
    • 任意のフィルター $\mathcal{F}$ をネットで実現する構成と、subnet の定義は。

Back

Section titled “Back”

Prop VII.6.4: 任意のフィルター $\mathcal{F}$（基 $\mathcal{B}$）に対し $V := {(x,B): x\in X, B\in\mathcal{B}}$、$(x_0,B_0)\leq(x_1,B_1) :\iff B_0\supset B_1$、$\varphi(x,B):=x$ と定めると有向集合 $(V,\leq)$ ができ $\varphi[\mathbb{V}^\uparrow] = \mathcal{F}$。→ フィルターとネットは相互に変換可能（Kelley の古典的構成）。

Subnet (Def VII.6.7): $(\psi\vert W,\leq)$ が $(\varphi\vert V,\leq)$ の subnet :⟺ $f:W\to V$ で $\psi=\varphi\circ f$ かつ各 $v$ にある $w$ で $f(W^\uparrow(w))\subset V^\uparrow(v)$。含意: $\varphi[\mathbb{V}] \leq \psi[\mathbb{W}]$（Prop VII.6.8）だが逆は成り立たない（subsequence の場合でさえ）— この非対称性から subquence の概念（Section IV.9）が生まれた。