📐 Proposition VII.4.8（free ⟹ topologization も free）
- 📐 Proposition VII.4.8（free ⟹ topologization も free） #Card
- 収束 $\xi$ が free（$T_1$）なら $T\xi$ も free であることの証明の鍵は。
$\xi$ が free（$T_1$）:⟺ 各点 $x$ で $\xi^-(x) \cap \mathcal{F}_0$ が単集合 ${x^\uparrow}$（唯一の収束フィルターが principal）。
$\xi$ が free なら $\operatorname{adh}\xi{x} \subset {x}$、よって $\operatorname{cl}\xi{x} = \operatorname{adh}\xi{x} = {x}$（cards/topology/adherence 常に $\operatorname{adh} \subset \operatorname{cl}$、単集合では等号）。ゆえに $\lim{T\xi} x^\uparrow = \operatorname{cl}_\xi{x} \subset {x}$、すなわち $T\xi$ も free。
「1点集合が閉」という $T_1$ の古典的特徴づけが、$\operatorname{cl}_\xi{x}={x}$ という式そのものに現れている。