📐 Proposition XV.4.5・XV.4.6（Cauchy 性の始構造による・積での特徴づけ）
- 📐 Proposition XV.4.5・XV.4.6（Cauchy 性の始構造による・積での特徴づけ） #Card
- 複数の写像から誘導される最粗の quasi-uniformity で、Cauchy 性を各成分の Cauchy 性に還元できるか。積の場合は。
Prop XV.4.5: $Y_j$ 上の preuniformity $\mathcal{R}j$、写像 $f_j\in Y_j^X$（$j\in J$）に対し、$\mathcal{P}:=\bigvee{j\in J}f_j^-[\mathcal{R}_j]$ を各 $f_j\in U(\mathcal{P},\mathcal{R}_j)$ となる最も粗い quasi-uniformity とする。このとき、フィルター $\mathcal{F}$ が $\mathcal{P}$-Cauchy $\iff$ 各 $j\in J$ で $f_j[\mathcal{F}]$ が $\mathcal{R}_j$-Cauchy filter-base。
系: $(X,\mathcal{P})$ が $(Y,\mathcal{R})$ の部分空間なら、$\mathcal{R}^\natural$-Cauchy フィルターの $X$ への trace は $\mathcal{P}^\natural$-Cauchy。
Prop XV.4.6（積の場合）: $\mathcal{R}:=\prod_{j\in J}\mathcal{R}_j$（cards/topology/product-preuniformity）のとき、$\mathcal{F}$ が $\mathcal{R}$-Cauchy $\iff$ 各 $j$ で $p_j[\mathcal{F}]$ が $\mathcal{R}_j$-Cauchy。cards/topology/prop-xv-4-4-uniform-continuity-preserves-cauchy を写像族に一般化したもの。