📐 Proposition XV.4.4（一様連続写像は Cauchy フィルターの押し出しを保つ）
- 📐 Proposition XV.4.4（一様連続写像は Cauchy フィルターの押し出しを保つ） #Card
- 一様連続写像による Cauchy フィルターの像（filter-base）が再び Cauchy であることの証明は。
$f\in U(\mathcal{P},\mathcal{R})$、$\mathcal{F}$ が $\mathcal{P}$-Cauchy filter なら、$f[\mathcal{F}]$ は $\mathcal{R}$-Cauchy filter-base。
証明: $R\in\mathcal{R}$ に対し、一様連続性からある $P\in\mathcal{P}$ で $(x,y)\in P\implies(f(x),f(y))\in R$。$\mathcal{F}$ が $\mathcal{P}$-Cauchy なので、ある $x\in X,F\in\mathcal{F}$ で $F\subset Px$。よって各 $y\in F$ に対し $(x,y)\in P$ ゆえ $(f(x),f(y))\in R$、すなわち $f(F)\subset Rf(x)$。
cards/topology/technique-pushforward-filter（フィルターの押し出しで性質を運ぶ手筋）の Cauchy 版 — 連続写像が adherence/limit を運ぶのと同じ構図で、一様連続写像は Cauchy 性を運ぶ。