📐 Proposition XII.5.5（$[0,1]$ は Cantor 集合の連続像）
- 📐 Proposition XII.5.5（$[0,1]$ は Cantor 集合の連続像） #Card
- Cantor 集合から $[0,1]$ への全射連続写像はどう作るか。単射でない理由は。
$f(r):=\frac{1}{2}\sum_{n\geq1}\varphi(n)/2^n$（$\varphi$ は $r\in C$ の3進表現、桁 ${0,2}$ をそのまま2進の桁 ${0,1}$ として再解釈）で定義される $f:C\to[0,1]$ は連続な全射。全射性は $[0,1]$ の任意の元が2進展開を持つことから。$[0,1]\setminus C$ の除去区間上は定数値で連続に拡張。
Remark XII.5.6（単射でない理由）: もし単射なら Cor XII.2.4 で同相になってしまうが、$C$ は完全不連結（0次元）で $[0,1]$ はそうでないので矛盾。実際、2進有限表現を持つ $t$（$#t$ を最後の非零桁とする）については $f^{-1}(t)={r_0,r_1}$（2点）。
「Cantor 集合を潰して区間を作る」という具体的な構成が、後の Prop XII.5.7（コンパクト距離化可能空間は Cantor 集合の連続像）の雛形になっている。