📐 Theorem XII.7.17（Stone–Čech の普遍性：$\beta X$ への連続拡張の一意存在）
- 📐 Theorem XII.7.17（Stone–Čech の普遍性：$\beta X$ への連続拡張の一意存在） #Card
- $\beta X$ の普遍性（任意の $X\to\tau$ への写像が $\beta X\to\tau$ に一意拡張できること）の主張と、拡張写像の具体的な公式は。
$\tau$ が Hausdorff コンパクト位相、$f\in|\tau|^X$（任意の写像）なら、$F|X=f$ となる唯一の $F\in C(\beta,\tau)$ が存在し、 $$F(p) \in \lim\tau f[U(p)] \tag{XII.7.10}$$
で与えられる。
証明の骨子: $\tau$ が Hausdorff コンパクトなので $\lim_\tau f[U(p)]$ は well-defined な一点（超フィルターの押し出しは超フィルター、コンパクト Hausdorff での収束は一意）。連続性は cards/topology/contour-operation-stone（Prop XII.7.15、$u_0\in\lim_\beta\mathcal{G}\iff U(u_0)=\int_\mathcal{G}U(\cdot)$）を経由し $\lim_\tau F[\mathcal{G}]=\lim_\tau f[\int_\mathcal{G}U(\cdot)]$ を示すことに帰着。一意性は $X$ が $\beta$-稠密であることと Hausdorff 性から（Lemma IX.1.3）。
これが Stone–Čech コンパクト化の定義的性質そのもの: $\beta X$ は「$X$ から Hausdorff コンパクト空間への任意の写像を一意に連続拡張できる、最も自由な（普遍的な）コンパクト化」。Cor XII.7.20: 特に $\tau=\nu|{[0,1]}$ のとき、任意の有界関数 $f\in[0,1]^X$ は一意に $F\in C(\beta,\nu|{[0,1]})$ に拡張。
Ultrafilter.extend / ultrafilterExtend（超フィルター拡張による連続写像の構成、UltrafilterExtend 関連）。