Contour（Definition XII.7.14）と Stone 位相での収束の特徴づけ（Prop XII.7.15）
- Contour（Definition XII.7.14）と Stone 位相での収束の特徴づけ（Prop XII.7.15） #Card
- 「contour」の定義は。$\beta X$ 上のフィルターの収束を、フィルターの言葉でどう特徴づけるか。
$Y$ を集合、各 $y\in Y$ に対し $S(y)$ が $X$ の部分集合族とする。Contour（$Y$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ に沿った ${S(y)}$ の輪郭）: $$\int_{\mathcal{F}} S(\cdot) := \bigcup_{F\in\mathcal{F}}\bigcap_{y\in F} S(y). \tag{XII.7.6}$$
特に $\mathcal{F}\in\mathfrak{F}(\beta X)$、$S(p):=U(p)$ のとき、$A\in\int_{\mathcal{F}}U(\cdot)\iff\beta A\in\mathcal{F}$（(XII.7.7)）。
Prop XII.7.15: $\beta X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $p\in\beta X$ に収束する $\iff$ $$U(p) = \int_{\mathcal{F}} U(\cdot). \tag{XII.7.8}$$
証明: Stone 位相の定義から $p\in\lim_\beta\mathcal{F}\iff$ 各 $A\in U(p)$ で $\beta A\in\mathcal{F}$ $\iff U(p)\subset\int_\mathcal{F}U(\cdot)$、超フィルターの極大性から等号。
Cor XII.7.16（超フィルター $\mathcal{W}\in\beta(\beta X)$ 版）: $p\in\lim_\beta\mathcal{W}\iff U(p)=\int_\mathcal{W}U(\cdot)$。次の普遍性定理（Thm XII.7.17）の証明の主要な道具。