Uniformity（Definition XV.2.1）
- Uniformity（Definition XV.2.1） #Card
- preuniformity・semi-uniformity・quasi-uniformity の交わりとして uniformity をどう定義するか。closure の制御公式は。
$X\times X$ 上のフィルター $\mathcal{R}$（$\ker\mathcal{R}\supset\Delta$）が uniformity :⟺ (i) 任意の $R\in\mathcal{R}$ に対し $S\circ S\subset R$ なる $S\in\mathcal{R}$ が存在（cards/topology/quasi-uniformity 条件）、かつ (ii) $\mathcal{R}^-=\mathcal{R}$（対称、cards/topology/semi-uniformity 条件）。
つまり uniformity = semi-uniformity ∩ quasi-uniformity。
$\mathcal{R}$ が uniformity のとき、$A\subset X$, $R\in\mathcal{R}$ に対し $$A\times A\subset R \implies \operatorname{cl}{\lambda\mathcal{R}}A\times\operatorname{cl}{\lambda\mathcal{R}}A\subset R^3 \tag{XV.2.1}$$ （$x_0,x_1\in\operatorname{cl}_{\lambda\mathcal{R}}A$ なら $a_0\in Rx_0\cap A$, $a_1\in Rx_1\cap A$ を取り、対称性 $a_1\in Ra_0$ から $x_1\in R^3x_0$）。「近い集合の閉包は、少し広げた entourage の中でなお近い」という uniform 版の三角不等式。
Meaning
Section titled “Meaning”Definition XV.2.1 の要点は、uniformity が「semi-uniformity と quasi-uniformity の交叉」であることを明示し、対称性と合成安定性を同時に課す点にある。これにより、擬距離族・一様連続・完備化を距離空間の外で再現できる。
出典:
refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp15-2024-uniform-structures.pdfp.341–342