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$\mathcal{R}$-Cauchy filter（Definition XV.4.1）

  • $\mathcal{R}$-Cauchy filter（Definition XV.4.1） #Card
    • preuniformity 一般に対して Cauchy フィルターをどう定義するか。収束フィルターとの関係、preuniformity を粗くしたときの遺伝は。

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$\mathcal{R}$ を $X$ 上の preuniformity とする。フィルター $\mathcal{F}$ が $\mathcal{R}$-Cauchy :⟺ 各 $R\in\mathcal{R}$ に対しある $x\in X$ で $Rx\in\mathcal{F}$。

  • 各 $\lambda\mathcal{R}$-収束フィルターは $\mathcal{R}$-Cauchy（自明）。
  • $\mathcal{P}\leq\mathcal{R}$ なら各 $\mathcal{R}$-Cauchy フィルターは $\mathcal{P}$-Cauchy（粗い preuniformity ほど Cauchy 条件は弱い）。
  • 特に $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy $\implies$ $\mathcal{R}$-Cauchy かつ $\mathcal{R}^-$-Cauchy。

cards/topology/cauchy-fundamental-filter（擬距離版の fundamental filter、$\inf_F\operatorname{diam}F=0$）を preuniformity 一般に拡張した定義 — $Rx\in\mathcal{F}$ は「$\mathcal{F}$ がある点の周りの entourage-近傍に収まる」ことを意味し、擬距離の「直径が小さい集合を含む」ことに対応する。