Proposition II.2.19 (補有限フィルターの指標)
- Proposition II.2.19 (補有限フィルターの指標) #Card
- $(X)_0$ の character が非可算になるのはいつか。
The character of $(X)_0$ is uncountable if and only if $X$ is uncountable.
証明の骨子:
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（$\Rightarrow$）${X \setminus {x} : x \in X}$ は $(X)_0$ の基底なので、その濃度は $|X|$。指標が非可算なら基底 ${X \setminus {x}}$ も非可算、すなわち $X$ 非可算。
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（$\Leftarrow$）$X$ 非可算とし、背理法で可算な有限集合族 ${F_n : n<\omega}$（$F_n$ 有限）から成る基底 ${X \setminus F_n}$ があると仮定。$\bigcup_n F_n$ は可算なので $x_\infty \in X \setminus \bigcup_n F_n$ が取れる。すると $X \setminus {x_\infty} \in (X)0$ だが、これを含む基底元 $X \setminus F_n \subset X \setminus {x\infty}$ は $x_\infty \in F_n$ を要し矛盾。よって指標は非可算。
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鍵: 非可算性を「可算個の有限集合では覆い尽くせない点 $x_\infty$」の存在に翻訳する。
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第III章での使い所: 非可算集合上の prime cofinite convergence $\pi[x_\infty, (X)_0]$ が可算指標でない理由（cards/topology/countable-character）。