Example XII.4.5（点列コンパクトだがコンパクトでない位相：Σ-積）
- Example XII.4.5（点列コンパクトだがコンパクトでない位相：Σ-積） #Card
- Σ-積とは何か。なぜ点列コンパクトだがコンパクトでないのか。
$X={0,1}^{[0,1]}$（cards/topology/compact-not-sequentially-compact-cube の $\eta$）の部分集合 $Y:={f\in X: s(f):={r: f(r)\neq0}\text{ は可算}}$ を Σ-積 と呼ぶ。
- $Y\neq X$ かつ $Y$ は $\eta$-稠密（有限台の関数で任意の基本開集合を撃てる）。
- $\eta|_Y$ はコンパクトでない：$Y$ は Hausdorff コンパクト空間 $X$ の $\eta$-閉部分集合でない（稠密かつ真部分集合だから）。
- $Y$ は点列コンパクト：任意の点列 $(f_n)_n$ に対し $S:=\bigcup_n s(f_n)$ は可算集合なので、$Z:={0,1}^S$ は $Y$ の $\eta$-閉部分集合であり、cards/topology/prop-xii-4-4-countable-product-sequentially-compact により収束部分列が取れる。
「稠密だが真の部分空間」というだけで非コンパクトになる一方、可算台という制約が点列コンパクト性を保証する — 同時に countably compact だが compact でない例（Example XII.4.5 の後注）でもある。