📐 Proposition XII.4.4（点列コンパクトな位相の可算積は点列コンパクト）
- 📐 Proposition XII.4.4（点列コンパクトな位相の可算積は点列コンパクト） #Card
- 点列コンパクト性が非可算積では壊れる（前カード参照）のに、可算積では保たれる理由は。対角線論法の使い方は。
各 $m<\omega$ で $\xi_m$ が sequentially compact な位相なら、$\xi:=\prod_{m<\omega}\xi_m$ も sequentially compact。
証明（対角線論法）: 点列 $(f_n)n$ に対し、帰納的に無限部分集合の減少列 $N_0\supset N_1\supset\cdots$ を構成し、$(f_n(m)){n\in N_m}$ が $\xi_m$-収束するようにする（各段は $\xi_m$ の点列コンパクト性で選べる）。対角的極限 $N_\infty$（Lemma XVI.2.1、各 $N_m$ に「ほとんど含まれる」無限集合の存在）を取れば、極限関数 $f(m):=x_m$ に $(f_n){n\in N\infty}$ が収束。
可算積が特別扱いされる理由: 対角線論法は可算個の段の後で「ほとんど含まれる」極限操作に依存し、非可算積ではこの操作が効かない — cards/topology/compact-not-sequentially-compact-cube（非可算積の反例）との対比が鮮明。