📐 Proposition XV.1.6・XV.1.7（適合 preuniformity の存在と最細元）
- 📐 Proposition XV.1.6・XV.1.7（適合 preuniformity の存在と最細元） #Card
- 各 pretopology に適合する（compatible な）preuniformity は存在するか。最も細かいものは？
$\pi=\lambda\mathcal{P}$ のとき $\mathcal{P}$ は $\pi$ に compatible と呼ぶ。
Prop XV.1.6: 各 pretopology $\pi$ に対し、compatible な preuniformity が存在する。構成: $\mathcal{P}:=\bigwedge_{x\in X}\mathcal{V}\iota(x)\times\mathcal{V}\pi(x)$（対角成分は離散、各点では $\pi$ の近傍フィルター）とすると $\Delta\subset\ker\mathcal{P}$ かつ $\mathcal{P}(x)=\mathcal{V}_\pi(x)$。
$\lambda$ は上限を保存: $\mathcal{R}_0\leq\mathcal{R}_1\implies\lambda\mathcal{R}_0\leq\lambda\mathcal{R}_1$、$\lambda(\bigvee_j\mathcal{R}_j)=\bigvee_j\lambda(\mathcal{R}_j)$。
Prop XV.1.7: 各 pretopology に対し、compatible な preuniformity の中で最も細かいもの（finest）が存在する（$\pi$ に compatible な preuniformity 全体の sup を取れば良い）。