Locally symmetric（Definition XV.1.11）／📐 Proposition XV.4.9（局所対称 ＋ complete ⟹ convergence-complete）
- Locally symmetric（Definition XV.1.11）／📐 Proposition XV.4.9（局所対称 ＋ complete ⟹ convergence-complete） #Card
- quasi-uniform 空間が「局所対称」であるとは。それが complete と組み合わさると何が言えるか。
quasi-uniform 空間 $(X,\mathcal{R})$ が locally symmetric（Def XV.1.11）:⟺ 各 $R\in\mathcal{R},x\in X$ に対し、対称な $P\in\mathcal{R}$ で $P^2(x)\subset Rx$ となるものが存在（「対称な entourage で局所的に $R$ を近似できる」）。
Prop XV.4.9: $\mathcal{R}$ が locally symmetric かつ complete なら、$\mathcal{R}$ は convergence-complete。
証明: $\mathcal{F}$ を $\mathcal{R}$-Cauchy、$p\in\operatorname{adh}{\lambda\mathcal{R}}\mathcal{F}$ とする。$R\in\mathcal{R}$、局所対称性から対称 $P\in\mathcal{R}$ で $P^3(p)\subset Rp$。Cauchy 性からある $x$ で $Px\in\mathcal{F}$、$p$ が adherent なので $Px,#,Pp$（$Pp\in\mathcal{F}^#$）。$P$ 対称なので $x\in P^2(p)$、よって $Px\subset P^3(p)\subset Rp$、ゆえに $Rp\in\mathcal{F}$ — これが任意の $R$ で成り立つので $p\in\lim{\lambda\mathcal{R}}\mathcal{F}$。
cards/topology/example-xv-4-8-complete-quasi-uniformity-non-convergence-complete の $\mathcal{V}$ はこの局所対称性を満たさない（境界の非対称性のため）。