Example XV.4.8（$[0,1]$ 上の quasi-uniformity：complete だが convergence-complete でない）
- Example XV.4.8（$[0,1]$ 上の quasi-uniformity：complete だが convergence-complete でない） #Card
- complete と convergence-complete が真に異なる概念であることを示す具体例は。
$X:=[0,1]$、$\varepsilon>0$ ごとに $V_\varepsilon:=\Delta\cup({0}\times[0,\varepsilon[,\cup,{1}\times,]1-\varepsilon,1])$。$V_\varepsilon\circ V_\varepsilon\subset V_\varepsilon$ なので ${V_\varepsilon}$ が生成する quasi-uniformity $\mathcal{V}$ は well-defined（$\lambda\mathcal{V}^-$ は離散）。
$\mathcal{V}$ は complete: $\mathcal{V}$-Cauchy 超フィルター $\mathcal{F}$ が $0$ にも $1$ にも収束しないとすると、ある $\varepsilon>0$ で $[\varepsilon,1-\varepsilon]\in\mathcal{F}$。$V_\varepsilon x\in\mathcal{F}$ となる $x$ を取れば $V_\varepsilon x={x}$（境界の外なので）、ゆえに $\mathcal{F}$ は $x$ に収束。
しかし filter-base ${,]0,\varepsilon]\cup[1-\varepsilon,1[,:\varepsilon>0}$ は $\mathcal{V}$-Cauchy だが収束しない（$0,1$ どちらの近傍フィルターにも支配されない）— よって $\mathcal{V}$ は complete だが convergence-complete ではない。adherent（複数の adherent 点への近さ）と convergent（一意の極限）の違いが、非対称な quasi-uniformity で顕在化する好例。