Example VIII.3.15（コンパクトだが閉でない集合）
- Example VIII.3.15（コンパクトだが閉でない集合） #Card
- Sierpiński 位相での反例は。
$$_0$（上 Sierpiński 位相）で ${0}$ は $$_0$-compact（1点集合は常にコンパクト）だが $$0$-閉でない: $$\lim{}{$_0} 0^\uparrow = {0,1} \not\subset {0}.$$
（${0}$ が閉なら $\operatorname{adh}{0}\subset{0}$ が必要だが $1\in\operatorname{adh}_{$_0}{0}$。）
教訓: 一般に「コンパクト $\implies$ 閉」は成り立たない — Hausdorff 性（cards/topology/compact-hausdorff-implies-closed）が本質的に必要。$$_0$ は $T_0$ だが $T_1$（free）でも $T_2$（Hausdorff）でもない、最小の反例空間。