Example IX.1.20（Sierpiński 位相は正規だが正則でない）
- Example IX.1.20（Sierpiński 位相は正規だが正則でない） #Card
- cards/topology/sierpinski-topology $$_0$ が normal であることと regular でないことの確認は。
$$0$: $\mathcal{C}{$_0}={\emptyset,{1},{0,1}}$。
正規: disjoint な閉集合対のどちらかは必ず $\emptyset$（$\mathcal{C}_{$_0}$ が3元しかなく非自明な2元が交わる）ので、空集合は clopen として即座に分離できる — 自明に正規。
非正則: ${0}$ が $0$ の最小開近傍。$W\in\mathcal{O}_{$0}(0)$ なら $W={0}$ しかなく $\operatorname{cl}{$_0}{0}={0,1}\not\subset{0}$ — Cor IX.1.7 の反例。
「正規 ⇏ 正則」（$T_1$ を仮定しないと正規から正則は出ない）ことを示す最小の反例。normal ⟹ regular には free（$T_1$）性が必須（cards/topology/normal-topology 参照）という事実の裏付け。