Example X.7.23・X.7.24（正規だが perfectly normal でない2例）
- Example X.7.23・X.7.24（正規だが perfectly normal でない2例） #Card
- prime cofinite 位相・prime cocountable 位相が正規だが完全正規でないことの証明の骨子は。
Example X.7.23（prime cofinite、Hausdorff かつコンパクト）: cards/topology/prime-cofinite-normal-example は正規（既出）だがコンパクト。$f(x_\infty)=0$ なる $f\in C$ があれば ${f=0}$ は余可算（cards/topology/functionally-closed-countable-intersection と同じ議論）だが ${x_\infty}$ とは一致しない（台が非可算だから）— 単集合 ${x_\infty}$ は閉だが関数的閉でない → Vedenisov（cards/topology/perfectly-normal-vedenisov）から非 perfectly normal。
Example X.7.24（prime cocountable）: $F$ が閉 ⟺ $x_\infty\in F$ または $F$ が可算。disjoint 閉集合は「両方可算」または「片方可算・他方 $x_\infty$ 込み」のケース分けで常に開集合対が作れる → 正規。しかし各連続関数は $x_\infty$ の近傍で定数（Exercise IV.10.11 の帰結）— 非 perfectly normal。
両例とも「1点が特別扱いされる prime 収束」が、正規性は満たしつつ関数的閉性（Vedenisov の条件）を破る典型パターン。