Example IX.1.18（prime cofinite 位相は正則かつ正規）

• Example IX.1.18（prime cofinite 位相は正則かつ正規） #Card
  • cards/topology/prime-cofinite-convergence が位相として regular・normal であることの確認は。

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無限集合 $X$ 上の prime cofinite 位相 $\pi=\pi[x_\infty,(X)0]$（$x\infty$ 以外は孤立点）。$A$ が $\pi$-開 $\iff x_\infty\notin A$ または $X\setminus A$ が有限。$F$ が $\pi$-閉 $\iff x_\infty\in F$ または $F$ が有限。

正則: $\mathcal{N}\pi(x\infty)$ の各元（cofinite 集合を含む）自体が閉集合なので Cor IX.1.7 が自明に成立。

正規: $F_0,F_1$ disjoint 閉集合。$x_\infty\in F_0$ なら $F_1$ は有限で $\operatorname{int}\pi F_1=F_1$（孤立点のみ）なので $F_1$ と $X\setminus F_1$ が disjoint open。$x\infty$ がどちらにもなければ両方有限で自明に開。

「ほとんど離散、1点だけ非離散」という極端な構造でも分離公理が自然に満たされる好例。