開集合・閉集合の base（Definition IX.2.1・IX.2.2、Proposition IX.2.6・IX.2.7）
- 開集合・閉集合の base（Definition IX.2.1・IX.2.2、Proposition IX.2.6・IX.2.7） #Card
- base の定義と、族が base であることの内在的な判定条件は。
$\mathcal{B}\subset\mathcal{O}\theta$ が開集合の base :⟺ 各開集合が $\mathcal{B}$ の元の合併。双対的に $\mathcal{C}\subset\mathcal{C}\theta$ が閉集合の base :⟺ 各閉集合が $\mathcal{C}$ の元の交叉（こちらは使用頻度が低く、単に「base」といえば開集合の base を指す）。
Prop IX.2.6（内在的判定）: $\mathcal{B}$ が（あるトポロジーの）開集合の base $\iff$ (i) 各 $x$ に $x\in B$ なる $B\in\mathcal{B}$ が存在、(ii) $x\in B_0\cap B_1$ なら $x\in B\subset B_0\cap B_1$ なる $B\in\mathcal{B}$ が存在。（位相を先に決めずに base だけから逆に構成できるという点が重要。）
Prop IX.2.7（閉集合版、双対）: 各 $x$ に $x\notin C$ なる $C$、$x\notin C_0\cup C_1$ なら $x\notin C\supset C_0\cup C_1$ なる $C$ が存在。
TopologicalSpace.IsTopologicalBasis。