📐 Proposition XII.7.1・XII.7.2・XII.7.5（Stone 位相は Hausdorff・0次元・コンパクト；$X$ は稠密開離散）
- 📐 Proposition XII.7.1・XII.7.2・XII.7.5（Stone 位相は Hausdorff・0次元・コンパクト；$X$ は稠密開離散） #Card
- Stone 位相の3つの基本性質（分離・次元・コンパクト性）と、埋め込まれる $X$ 自身の位置づけは。
Prop XII.7.1: $\beta$ は Hausdorff かつ 0次元。証明: $p_0\neq p_1$ なら $A\in U(p_0)\setminus U(p_1)$ が取れ、$X\setminus A\in U(p_1)$（超フィルターの極大性）なので $p_0\in\beta A$、$p_1\in\beta X\setminus\beta A$。${\beta A}$ は clopen 族。
Prop XII.7.2: 主超フィルター全体 ${x^\uparrow: x\in X}$ は $\beta$-開かつ稠密で、制限位相は離散。よって $\iota_X$ は $\beta$ に埋め込まれ、$d(\beta X)=\operatorname{card}X$（Prop XII.6.6 経由）。Cor XII.7.3: $X$ が可算なら $\beta X$ は可分。
Prop XII.7.5: Stone 位相はコンパクト。証明: 開被覆 $\mathcal{P}$ に対し基 ${\beta A}$ による細分 ${\beta A: A\in\mathcal{A}}$ を取り、各 $p$ で $A_p\in U(p)$ を選ぶ。Prop V.4.6（フィルターの有限交叉性）から有限部分族で $X$ を覆えることを導く。
「小さな離散集合 $X$ を、コンパクトかつ Hausdorff な巨大集合 $\beta X$ に稠密に埋め込む」— Stone–Čech コンパクト化の存在の核心部分。
Ultrafilter.instCompactSpace・Ultrafilter.instT2Space。