Bisequence pretopology (Example VI.1.8)
- Bisequence pretopology (Example VI.1.8) #Card
- 二重列 $x_\infty \leftarrow_n x_n \leftarrow_k x_{n,k}$ が定める前位相。何の反例か。
$X := {x_\infty} \sqcup {x_n} \sqcup \bigsqcup_{n<\omega} X_n$（$X_n = {x_{n,k} : k<\omega}$）上で、$x_\infty \in \lim_\theta (x_n)n$、$x_n \in \lim\theta (x_{n,k})k$ とする最細の収束。$\mathcal{V}\theta(x_\infty), \mathcal{V}_\theta(x_n)$ は cofinite フィルター、他の点は孤立。
adherence が冪等でない: $A := \bigcup_{n<\omega} X_n$ に対し $$x_\infty \in \operatorname{adh}\theta(\operatorname{adh}\theta A) \setminus \operatorname{adh}_\theta A.$$
よって前位相だが位相でない。topologization（$\operatorname{cl}\theta = \operatorname{adh}\theta^2$）の部分空間として Arens topology が現れる（Example VII.4.6）。