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Sequentially Founded Convergence（列基礎収束）と Seq 修正子 (Definition XVI.3.1 / Proposition XVI.3.6・3.8)

  • Sequentially Founded Convergence（列基礎収束）と Seq 修正子 (Definition XVI.3.1 / Proposition XVI.3.6・3.8) #Card
    • 収束 $\xi$ が sequentially founded であるとは、また $\operatorname{Seq}\xi$（$\xi$ より細い最粗の sequentially founded 収束）の性質は。

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収束 $\xi$ が sequentially founded :⟺ $x\in\lim_\xi\mathcal{F}$ ならば、ある列フィルター $\mathcal{E}\leq\mathcal{F}$ で $x\in\lim_\xi\mathcal{E}$（同値に、各点に sequential filter からなる pavement を持つ）。$\operatorname{Seq}$ をこのクラスとする。

$\operatorname{Seq}$ 修正子（Prop XVI.3.6）: 任意の $\xi$ に対し、$\xi$ より細い sequentially founded 収束のうち最粗のものが存在し $\operatorname{Seq}\xi$ と書く：$x\in\lim_{\operatorname{Seq}\xi}\mathcal{F}\iff\exists\mathcal{E}\in\mathbb{S}: x\in\lim_\xi\mathcal{E}\wedge\mathcal{F}\geq\mathcal{E}$。

Prop XVI.3.8（性質）: $\operatorname{Seq}$ は単調（$\zeta\geq\xi\Rightarrow\operatorname{Seq}\zeta\geq\operatorname{Seq}\xi$）・拡大的（$\operatorname{Seq}\xi\geq\xi$）・冪等（$\operatorname{Seq}(\operatorname{Seq}\xi)=\operatorname{Seq}\xi$）。

  • 離散収束・有限収束は常に sequentially founded。標準列型収束 $\sigma_\mathbb{R}$（cards/topology/standard-sequential-convergence）は $\operatorname{Seq}\nu_\mathbb{R}$ に一致（Example XVI.3.7）。
  • 第XXII.9節（測度論的収束）で多用: $\operatorname{Seq}(e_\mu)$（概収束の列修正）・$\operatorname{Seq}(m_\mu)$（測度収束の列修正）等。

本カードは第XXII章§9のカード化に必要な最小限の辞書カード（第XVI章は本格カード化の対象外）。