📐 Proposition XV.3.8（積 uniformity への一様連続性の普遍性）
- 📐 Proposition XV.3.8（積 uniformity への一様連続性の普遍性） #Card
- 積構造への写像が一様連続であることを、成分ごとの一様連続性にどう還元するか。
$\mathcal{P}$ を $X$ 上の uniformity、$\mathcal{R}j$ を $Y_j$ 上の uniformity（各 $j\in J$）とする。$f:X\to\prod{j\in J}Y_j$ に対し $$f\in U\Big(\mathcal{P},\prod_{j\in J}\mathcal{R}_j\Big) \iff p_j\circ f\in U(\mathcal{P},\mathcal{R}_j)\ \text{for each } j\in J.$$
位相の積の普遍性（写像の連続性 ⟺ 各成分への合成が連続）とまったく同じ形が、一様連続性についても成り立つ。cards/topology/product-preuniformity の定義（積 preuniformity = 各射影が一様連続になる最も粗いもの）から直ちに従う。