📐 Proposition XII.7.6（自由超フィルターの点での character は非可算）
- 📐 Proposition XII.7.6（自由超フィルターの点での character は非可算） #Card
- $\beta^*X=\beta X\setminus X$ の各点で character（最小近傍基の濃度）が非可算になる理由は。
$p\in\beta^*X$（自由超フィルター）の character は非可算。
証明（背理法）: ${W_n:n<\omega}$ が $p$ の可算な近傍基だとすると、(XII.7.4) より $U_n\in U(p)$ の減少列で $p\in\beta U_n\subset W_n$ が取れる。Lemma XVI.2.1（ほとんど含まれる無限集合の存在）から $U_\infty$ で各 $U_n$ に「ほとんど含まれる」ものが取れ、$\beta U_\infty\subset\bigcap_n\beta U_n\subset\bigcap_n W_n$。$\beta U_\infty$ は $\beta$-開なので $\operatorname{int}_\beta\bigcap_n W_n\neq\emptyset$ となり、${W_n}$ が近傍基であることに矛盾（近傍基の交わりの内部が空でないのは、その点が孤立点でない限りおかしい）。
含意: $\beta^*X$ は第一可算でない（自由超フィルターの点はどれも可算な近傍基を持たない）— $X$ が可算でも $\beta X$ の「新しい」点はすべて距離化不可能な複雑さを持つことの直接の証拠。