Arens topology（Example VII.4.6）— $T$ が部分空間・始収束と非可換な例
- Arens topology（Example VII.4.6）— $T$ が部分空間・始収束と非可換な例 #Card
- Bisequence 前位相 $\theta$ で $T(\theta\vert_V) \neq (T\theta)\vert_V$ となる仕組みは。
Bisequence 前位相 cards/topology/bisequence-pretopology で $A := \bigcup_{n<\omega} X_n \setminus X_\infty$、$V := A \cup {x_\infty}$ とする。
- $\theta\vert_V$ は離散位相 → $T(\theta\vert_V)$ も離散
- しかし $(T\theta)\vert_V$ は離散でない: $U \subset V$ が $(T\theta)\vert_V$-近傍 ⟺ $x_\infty \in U$ かつある $n$ で $X_k \setminus U$ が有限（$n<k<\omega$ すべて）— これが Arens topology。
結論: $(T\theta)\vert_V < T(\theta\vert_V)$、すなわち topologizer は部分空間と可換しない。同様に $T\xi \vee \tau \not\geq T(\xi \vee \tau)$（Example VII.4.7、対角集合の議論）で上限とも積とも非可換。
これは対応する $S_0$（pretopologizer）が可換なのと対照的（Thm VI.6.3）。