Evenly continuous（$\|\xi,\sigma\|$-continuous）family（Definition XXIV.8.1・Lemma XXIV.8.2）
- Evenly continuous（$|\xi,\sigma|$-continuous）family（Definition XXIV.8.1・Lemma XXIV.8.2） #Card
- cards/topology/equicontinuous-family（距離が要る同程度連続性）を、収束空間一般でどう一般化するか（Even continuity, J. Kelley）。
$H\subset Y^X$ が evenly continuous（$|\xi,\sigma|$-continuous）at $x\in X$ :⟺ 各 $y\in Y$・フィルター $G,\mathcal{F}$（$H\in\mathcal{F}$）に対し $$(y\in\lim_\sigma\langle x,\mathcal{F}\rangle) \wedge (x\in\lim_\xi G) \implies y\in\lim_\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle. \tag{XXIV.8.1}$$
Lemma XXIV.8.2（$\xi,\sigma$ が位相の場合の古典的言い換え）: $H$ が evenly continuous $\iff$ 各 $y\in Y$・$U\in\mathcal{O}\sigma(y)$ に対し、$W\in\mathcal{O}\sigma(y)$・$V\in\mathcal{O}_\xi(x)$ が存在して $$(f\in H)\wedge(f(x)\in W) \implies f(V)\subset U.$$
（つまり「$x$ での値が $y$ に十分近ければ、$x$ の共通の近傍 $V$ 上で $f$ が $U$ に収まる」——同程度連続性の「$x$ 1点固定・値 $y$ 側からの」変種。値に距離が不要な点が cards/topology/equicontinuous-family との違い。）
即座の帰結（Corollary XXIV.8.3、cards/topology/cor-xxiv-8-3-evenly-continuous-pointwise-natural-agree）: $H$ が evenly continuous なら、$H$ を含むフィルターに関しては各点収束と natural convergence（cards/topology/dual-natural-convergence）が一致する。
「同程度連続性の距離フリー版」——cards/topology/prop-xxiv-8-4-equicontinuity-implies-even-continuity で距離のある場合との関係が、cards/topology/thm-xxiv-8-6-7-ascoli-arzela-compactoid-characterization で Ascoli–Arzelà 型定理の中心概念として使われる。