📐 Corollary XXIV.8.3（evenly continuous 集合上では各点収束＝natural convergence）
- 📐 Corollary XXIV.8.3（evenly continuous 集合上では各点収束＝natural convergence） #Card
- cards/topology/evenly-continuous-family であるという仮定から、なぜ「各点収束するなら natural convergence でも収束する」が従うのか。
Corollary XXIV.8.3: $H$ が $|\xi,\sigma|$-continuous（cards/topology/evenly-continuous-family）なら、$H\in\mathcal{F}$ となる各フィルター $\mathcal{F}$ に対し $$\lim{}{p(\xi,\sigma)}\mathcal{F} \subset \lim{}{[\xi,\sigma]}\mathcal{F}.$$
すなわち、evenly continuous 集合の上では各点収束と natural convergence（dual convergence）が一致する。
証明: $f\in\lim_{p(\xi,\sigma)}\mathcal{F}$、すなわち各 $x$ で $f(x)\in\lim_\sigma\langle x,\mathcal{F}\rangle$ とする。$x\in\lim_\xi G$ なる任意の $G$ に対し、(XXIV.8.1)（cards/topology/evenly-continuous-family）から直ちに $f(x)\in\lim_\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle$——これがまさに $f\in\lim_{[\xi,\sigma]}\mathcal{F}$ の定義。
一般に $[\xi,\sigma]\rhd p(\xi,\sigma)$（cards/topology/finer-subspace-order-dual-monotonicity）で dual convergence の方が真に細かい（cards/topology/example-xxiv-0-2-pointwise-limit-not-continuous のように、各点収束の極限が連続とすら限らない）。この不等号が、evenly continuous な集合上では等号に潰れる——「各点収束の弱さ」が evenly continuity という一様性の仮定で解消される、という本節の中心的なメカニズム。cards/topology/prop-xxiv-8-5-evenly-continuous-subset-continuous-maps・cards/topology/thm-xxiv-8-6-7-ascoli-arzela-compactoid-characterization の証明の要。