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📐 Theorem XXIV.8.6・XXIV.8.7（Ascoli–Arzelà の収束空間版：$[\xi,\sigma]$-compactoid ⟺ evenly continuous ＋ 各点で compactoid）

  • 📐 Theorem XXIV.8.6・XXIV.8.7（Ascoli–Arzelà の収束空間版：$[\xi,\sigma]$-compactoid ⟺ evenly continuous ＋ 各点で compactoid） #Card
    • 古典的 Ascoli–Arzelà 定理（同程度連続かつ有界な実数値連続関数列は一様収束部分列を持つ）を、収束空間・compactoid 性の言葉でどう一般化するか。

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$\xi,\sigma$ を収束とする。

Theorem XXIV.8.6: $\sigma$ が正則、$H$ が $|\xi,\sigma|$-continuous（cards/topology/evenly-continuous-family）、かつ各 $x\in\vert\xi\vert$ で $\langle x,H\rangle$ が $\sigma$-compactoid なら、$H$ は $[\xi,\sigma]$-compactoid。

証明の骨子: $\mathcal{U}$ を $H\in\mathcal{U}$ なる超フィルター（$C(\xi,\sigma)$ 上）とする。各 $x$ で $\langle x,H\rangle\in\langle x,\mathcal{U}\rangle$ が $\sigma$-compactoid なので $f(x)\in\lim_\sigma\langle x,\mathcal{U}\rangle$ となる $f$ が取れ、$f\in\lim_{p(\xi,\sigma)}\mathcal{U}$。cards/topology/cor-xxiv-8-3-evenly-continuous-pointwise-natural-agree より $f\in\lim_{[\xi,\sigma]}\mathcal{U}$、cards/topology/prop-xxiv-8-5-evenly-continuous-subset-continuous-maps より $f\in C(\xi,\sigma)$——超フィルター $\mathcal{U}$ が $[\xi,\sigma]$-収束先を持つので $H$ は $[\xi,\sigma]$-compactoid。

Theorem XXIV.8.7（逆）: $\sigma$ が Hausdorff pseudotopology、$H$ が $[\xi,\sigma]$-compactoid なら、$H$ は $|\xi,\sigma|$-continuous かつ各 $x$ で $\langle x,H\rangle$ が $\sigma$-compactoid。

証明の骨子: $\langle x,\cdot\rangle\in C([\xi,\sigma],\sigma)$（cards/topology/dual-natural-convergence の定義）なので $\langle x,H\rangle$ は $[\xi,\sigma]$-compactoid $H$ の連続像、よって $\sigma$-compactoid。Even continuity の検証は、$\sigma$ が pseudotopology なので超フィルターだけ確認すればよいという性質を使い、$H$ の compactoid 性から超フィルター $\mathcal{U}$（$\mathrm{ev}^-[W][G]\vee\mathcal{F}$ より細かい）の $[\xi,\sigma]$-収束先 $f$ を取り、Hausdorff 性で $y=f(x)$ を特定して結論。

これが本章の Ascoli–Arzelà 型定理——古典的な「同程度連続かつ各点有界（$\mathbb{R}$ で compactoid＝有界）な関数族は一様収束（compact-open/natural convergence）で相対コンパクト」という定理を、収束空間の言葉に完全に一般化したもの。cards/topology/equicontinuous-family（Lemma X.2.7 の古典版）の収束空間への到達点。