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📐 Proposition XXIV.8.5（正則な値域上で evenly continuous な集合は自動的に連続写像だけからなる）

  • 📐 Proposition XXIV.8.5（正則な値域上で evenly continuous な集合は自動的に連続写像だけからなる） #Card
    • cards/topology/evenly-continuous-family な集合 $H\subset Y^X$ は、必ずしも $C(\xi,\sigma)$ に含まれるとは限らないはずだが、どんな仮定を足せば $H\subset C(\xi,\sigma)$ が保証されるか。

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Proposition XXIV.8.5: $\sigma$ が正則な収束で $H$ が $|\xi,\sigma|$-continuous（cards/topology/evenly-continuous-family）なら、$H\subset C(\xi,\sigma)$。

証明: cards/topology/cor-xxiv-8-3-evenly-continuous-pointwise-natural-agree より、$H$ を含む任意のフィルターに関して $p(\xi,\sigma)\vert_H\geq[\xi,\sigma]\vert_H$、逆向き $[\xi,\sigma]\geq p(\xi,\sigma)$ は常に成り立つので $p(\xi,\sigma)\vert_H=[\xi,\sigma]\vert_H$。cards/topology/thm-xxiv-1-3-regular-codomain-natural-closed（$\sigma$ 正則 $\implies$ $C(\xi,\sigma)$ は $[\xi,\sigma]$ で閉）を $H^\uparrow$（$H$ を含む主フィルター）に適用すると、$H$ 上のあらゆる元は $[\xi,\sigma]$-極限として $C(\xi,\sigma)$ の元に収束——特に $H$ 自身の各点が $C(\xi,\sigma)$ に属する。

意味: even continuity という「各点収束と natural convergence の一致」という性質だけから、正則性という穏やかな仮定を添えるだけで、集合が最初から連続写像だけで構成されていたことが自動的に導かれる——cards/topology/thm-xxiv-8-6-7-ascoli-arzela-compactoid-characterization の Ascoli–Arzelà 型定理で、「$H\subset C(\xi,\sigma)$」という前提を明示的に置かずに済ませるための鍵となる補題。