📐 Proposition XXIV.8.4（距離のある場合：$(\xi,d)$-equicontinuous ⟹ evenly continuous、compactoid なら逆も）
- 📐 Proposition XXIV.8.4（距離のある場合：$(\xi,d)$-equicontinuous ⟹ evenly continuous、compactoid なら逆も） #Card
- cards/topology/equicontinuous-family（距離を使う同程度連続性）と cards/topology/evenly-continuous-family（距離不要の even continuity）の関係を、距離化可能な値域の場合に正確にどう述べるか。
$H\subset C(\xi,td)$ が $(\xi,d)$-equicontinuous at $x$ :⟺ 各 $\varepsilon>0$・$x\in\lim_\xi G$ なる $G$ に対し、$G\in G$ で $d(f(v),f(x))<\varepsilon$（$\forall v\in G,\forall f\in H$）（$\xi$ が前位相なら $G:=\mathcal{V}_\xi(x)$ で十分）。
Proposition XXIV.8.4: $\sigma$ が距離化可能、$\xi$ が finitely stable なら、$\sigma=td$ となる各距離 $d$ に対し、$(\xi,d)$-equicontinuous な $H$（at $x$）は $(\xi,\sigma)$ に関して evenly continuous（at $x$）。さらに $\langle x,H\rangle$ が $\sigma$-compactoid なら逆も成立。
証明の骨子（順方向）: $H\in\mathcal{F}$、$x\in\lim_\xi G$、$\varepsilon>0$ とする。equicontinuity から $d(f(x),f(v))<\varepsilon/2$（$v\in G\in G$、$f\in H$）となる $G$ が取れ、$y\in\lim_{td}\langle x,\mathcal{F}\rangle$ から $d(y,f(x))<\varepsilon/2$ となる $F\in\mathcal{F}$（$F\subset H$）が取れる。三角不等式で $d(y,f(v))<\varepsilon$（$f\in F,v\in G$）——(XXIV.8.1) を確認。
逆方向は背理法: not equicontinuous なら $\varepsilon>0$ とフィルター $G$（$x\in\lim_\xi G$）で、各 $G\in G$ に $f_G\in H,x_G\in G$ かつ $d(f(x),f_G(x_G))\geq\varepsilon$ となるものが存在。${f_G:G\subset V}$（$V\in G$）から生成されるフィルター基上の超フィルター $\mathcal{U}$ を取ると $\langle x,H\rangle$ の $td$-compactoid 性から収束先 $y$ が存在するが、$\langle G,\mathcal{U}\rangle$ の直径が $\varepsilon$ 以上に保たれ evenly continuity に矛盾。
「距離という具体的な一様性で測る古典的な同程度連続性」と「収束空間の言葉だけで書ける even continuity」を、compactoid性という穏やかな仮定の下で完全に同一視する橋渡し——cards/topology/thm-xxiv-8-6-7-ascoli-arzela-compactoid-characterization の古典的 Ascoli–Arzelà への還元を保証する。