📐 Proposition XXIV.5.13・Corollary XXIV.5.14（compact-open topology を局所コンパクト化子 $K,K_{\mathrm{her}}$ で挟む）
- 📐 Proposition XXIV.5.13・Corollary XXIV.5.14（compact-open topology を局所コンパクト化子 $K,K_{\mathrm{her}}$ で挟む） #Card
- cards/topology/compact-open-topology $k(\xi,\sigma)$ を、$\xi$ 自体の局所コンパクト化（局所コンパクト coreflector $K$・hereditarily 版 $K_{\mathrm{her}}$）を通した dual convergence とどう比較するか。
$K$（局所コンパクト coreflector）・$K_{\mathrm{her}}$（hereditarily locally compact coreflector、cards/topology/prop-xx-9-13-hausdorff-regular-hereditarily-locally-compact 参照）はどちらも coreflector で $K_{\mathrm{her}}\geq K$。離散化 coreflector $\mathrm{Dis}$（Example XVII.3.13、cards/topology/discretization-modifier-dis）を使うと $p(\xi,\sigma)=[\mathrm{Dis},\xi,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)}$（cards/topology/pointwise-hypertopology-bracket-notation の別表示）。
Proposition XXIV.5.13: $\sigma$ が位相なら $$[K_{\mathrm{her}}\xi,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)} \leq k(\xi,\sigma) \leq [K\xi,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)}.$$
証明の骨子（左側の不等号）: $f_0\notin\lim_{[K_{\mathrm{her}}\xi,\sigma]}\mathcal{F}$ なら、$x_0\in\lim_{K_{\mathrm{her}}\xi}G$ かつ $f_0(x_0)\notin\lim_\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle$ となる $G$ が存在。$f_0\in C(\xi,\sigma)$ なので、コンパクト集合 $K_0\in G\cap\mathcal{K}(\xi)$ が取れ $[K_0,O_0]\notin\mathcal{F}$（$O_0:=$ ある $f_0(x_0)$ の近傍）となり、$f_0\notin\lim_{k(\xi,\sigma)}\mathcal{F}$。右側の不等号は超フィルターと背理法による、より込み入った議論（$\mathcal{K}_0$ 上の超フィルター $\mathcal{U}$ を使い、有限部分族での被覆と Proposition V.4.6 を利用）。
Corollary XXIV.5.14（$K\xi=K_{\mathrm{her}}\xi$ が Hausdorff 正則で成り立つこと、cards/topology/prop-xx-9-13-hausdorff-regular-hereditarily-locally-compact より）: $$\xi\ \text{が Hausdorff かつ正則} \implies k(\xi,\sigma) = [K\xi,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)}.$$
「compact-open topology は、局所コンパクト化した $\xi$ の dual convergence の制限にほかならない」という、cards/topology/thm-xxiv-8-6-7-ascoli-arzela-compactoid-characterization（Ascoli–Arzelà 型定理）につながる本質的な同一視。