📐 Proposition XX.9.13（Hausdorff・正則・局所コンパクト ⟹ hereditarily locally compact、すなわち $K=K_{\mathrm{her}}$）
- 📐 Proposition XX.9.13（Hausdorff・正則・局所コンパクト ⟹ hereditarily locally compact、すなわち $K=K_{\mathrm{her}}$） #Card
- 局所コンパクト coreflector $K$ と、その hereditary 版 $K_{\mathrm{her}}$（常に $K_{\mathrm{her}}\geq K$）が一致するための十分条件は。
Proposition XX.9.13: $\xi$ が Hausdorff・正則・局所コンパクトなら、$\xi$ は hereditarily locally compact（すなわち $K\xi=K_{\mathrm{her}}\xi$）。
証明の骨子: $x\in\lim_\xi\mathcal{F}$ とすると $\xi$-コンパクトな $C\in\mathcal{F}$ が取れる。正則性は反射的な性質なので $\xi\vert_C$ も Hausdorff・正則・コンパクト、よって subdiagonal（$S_0(\xi\vert_C)=T(\xi\vert_C)$、Proposition XX.8.1）。$\xi$ が Hausdorff で $C$ がコンパクトなので $C$ は $\xi$-閉（Exercise XVIII.10.3）、ゆえに $T(\xi\vert_C)=(T\xi)\vert_C$。したがって $x\in\lim_\xi\widehat{\mathrm{cl}\xi}\mathcal{F}$——$\xi$ は topologically regular。各 $F\in\mathcal{F}$ に対し $\mathrm{cl}\xi(F\cap C)$ は $C$ の $\xi$-閉部分集合、よって $\xi$-コンパクト。ゆえに $\widehat{\mathrm{cl}\xi}\mathcal{F}$ は $\mathcal{K}(\xi)$-based で $\widehat{\mathrm{cl}\xi}\mathcal{F}\leq\mathcal{F}$——$x$ に $\mathcal{K}(\xi)$-based なフィルターの pavement が存在し、hereditarily locally compact。
第XXIV章 cards/topology/prop-xxiv-5-13-14-compact-open-k-modifier-bounds（Corollary XXIV.5.14: $\xi$ が Hausdorff・正則なら $k(\xi,\sigma)=[K\xi,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)}$）で、$K=K_{\mathrm{her}}$ という本命題の帰結が直接使われる——cards/topology/prop-xxiv-5-13-14-compact-open-k-modifier-bounds の一般不等式 $[K_{\mathrm{her}}\xi,\sigma]\leq k(\xi,\sigma)\leq[K\xi,\sigma]$ の両端が潰れる十分条件を与える。