📐 Proposition XV.4.11（真の uniformity では：$M$ が閉 ⟺ 制限 $\mathcal{R}_M$ が complete）
- 📐 Proposition XV.4.11（真の uniformity では：$M$ が閉 ⟺ 制限 $\mathcal{R}_M$ が complete） #Card
- 対称な uniformity に限れば「complete な部分空間 ⟺ 閉部分空間」が成り立つことの証明は。
$\mathcal{R}$ が complete uniformity（対称！）、$M\subset X$ のとき: $$\mathcal{R}_M\text{（$M\times M$ への制限）is complete} \iff M\text{ is } \lambda\mathcal{R}\text{-closed}.$$
証明（⟹）: $x_0\in\operatorname{cl}{\lambda\mathcal{R}}M$ とする。$\mathcal{B}:={Rx_0\cap M: \operatorname{cl}{\lambda\mathcal{R}\times\lambda\mathcal{R}}R\subset R\in\mathcal{R}}$ は $\lambda\mathcal{R}_M$-閉集合からなる $\mathcal{R}_M$-Cauchy filter-base。$\mathcal{R}_M$ の completeness から $\emptyset\neq\bigcap\mathcal{B}\subset{x_0}$、よって $x_0\in M$。
cards/topology/example-xv-4-10-complete-subspace-not-closed と対照: 非対称な quasi-uniformity では「⟸」方向しか成り立たない。対称性（uniformity）が閉性と完備性を同値にする決定的な条件。