📐 Proposition XV.1.14（Pervin quasi-uniformity：任意の位相は quasi-uniformizable）／Example XV.1.15
- 📐 Proposition XV.1.14（Pervin quasi-uniformity：任意の位相は quasi-uniformizable）／Example XV.1.15 #Card
- 任意の位相 $\tau$ に対し compatible な quasi-uniformity をどう構成するか（Pervin）。それは一意か。
任意の位相 $\tau$ に対し、$\tau=\lambda\mathcal{P}\tau$ となる quasi-uniformity $\mathcal{P}\tau$（Pervin quasi-uniformity）が存在する。
構成: $O\in\mathcal{O}\tau$ ごとに $S_O:=(O\times O)\cup((X\setminus O)\times X)$ とすると ${S_O:O\in\mathcal{O}\tau}$ は filter-subbase。$\Delta\subset S_O$、$S_O\circ S_O\subset S_O$（$O$ の内外で場合分けして確認）なので生成される $\mathcal{P}_\tau$ は quasi-uniformity。開集合との対応も直接確認できる（$S_Ox=O$ if $x\in O$）。
任意の位相は quasi-uniformizable（uniformizable より真に広いクラス — Weil の定理 cards/topology/thm-xv-2-6-weil-uniformizability と対照）。
Example XV.1.15: $I=[0,1]$ の標準距離が誘導する quasi-uniformity $\mathcal{N}$（実は uniformity）は $\lambda\mathcal{N}=\lambda\mathcal{P}{\nu_I}=\nu_I$ だが、$\mathcal{N}$ と $\mathcal{P}{\nu_I}$ は互いに比較不能 — 同じ位相に compatible な quasi-uniformity は一意でない。