📐 Theorem XV.2.6（Weil：Hausdorff 位相が uniformizable ⟺ functionally regular）
- 📐 Theorem XV.2.6（Weil：Hausdorff 位相が uniformizable ⟺ functionally regular） #Card
- uniformizable の定義と、Weil の定理が uniformizable 性を関数的正則性とどう同一視するか。
位相が uniformizable :⟺ compatible な uniformity を持つ。
cards/topology/lemma-xv-2-4-metrization-lemma（Cor XV.2.5）より uniformizable な位相は pseudometrizable（擬距離のゲージで生成されるので）。
一方、Prop X.9.7 より、位相が pseudometrizable $\iff$ cards/topology/functionally-regular-topology（functionally regular = completely regular）。
Theorem XV.2.6（Weil）: Hausdorff 位相が uniformizable $\iff$ functionally regular（completely regular）。
証明の骨子（$\Leftarrow$、functionally regular ⟹ uniformizable）: cards/topology/pseudometrizable-functionally-initial（Prop X.9.7 の $\Leftarrow$ 方向の構成）より、functionally regular な位相は擬距離の族 ${d_F:F\subset_{\mathrm{fin}}C(\xi,\nu)}$（$d_F(x,y):=\max_{f\in F}|f(x)-f(y)|$）で pseudometrizable に生成される。各 $d_F$ が定める preuniformity（entourage ${d_F<\varepsilon}$）の上限を取ると、この擬距離族が位相を決定すること（functionally regular 性）から生成位相が元の位相 $\xi$ と一致する compatible な uniformity が得られる——すなわち uniformizable。
Weil によるこの定理が、uniformity の理論を「距離の一般化」として最初に動機づけた古典的結果。$T_{3.5}$ 空間 = uniformizable Hausdorff 空間、という同一視。