📐 Theorem X.10.14（Cantor：可算稠密無界線形順序の一意性）／Corollary X.10.15
- 📐 Theorem X.10.14（Cantor：可算稠密無界線形順序の一意性）／Corollary X.10.15 #Card
- 可算・稠密・非有界な線形順序が同型を除いて一意（＝$\mathbb{Q}$ と同型）であることの証明の骨子は。
線形順序が dense（$a<b\implies\exists c,\ a<c<b$）かつ unbounded（各 $c$ の両側に元がある）とする。
Thm X.10.14: 任意の2つの可算・稠密・非有界な線形順序は同型。
証明（back-and-forth 論法）: $A={a_n},B={b_n}$ を交互に処理: $f(a_0):=b_0$ の後、非有界性で未対応の $a$（または $b$）を選び、稠密性で順序を保つ対応先の区間から未使用の元を選ぶ、を繰り返す。可算性が本質（帰納的に全点を処理しきれる）。
Cor X.10.15: 可算稠密非有界線形順序は $\mathbb{Q}$（標準順序）と同型。
帰結: $\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ の唯一の（順序）完備化。標準位相 $\nu_\mathbb{R}$ は $]0,1[$ と同相なので、$\mathbb{Q}\cong{]0,1[}\cap\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cong{]0,1[}\setminus\mathbb{Q}$ という同相が従う（可算稠密線形順序の一意性が位相同型に翻訳される）。back-and-forth 論法自体はモデル理論の $\omega$-範疇性の原型としても重要。