📐 Proposition VIII.3.14（閉部分集合はコンパクト性を継承）
- 📐 Proposition VIII.3.14（閉部分集合はコンパクト性を継承） #Card
- コンパクト（可算コンパクト、Lindelöf）空間の閉部分集合について何が言えるか。分離公理は必要か。
コンパクト（それぞれ可算コンパクト、Lindelöf）収束空間の閉部分集合は同じ性質を持つ。
証明: $C\in\mathcal{C}\xi$、$C\in\mathcal{F}$ なるフィルター $\mathcal{F}$ を取ると、$\xi$ のコンパクト性から $\emptyset\neq\operatorname{adh}\xi\mathcal{F}\subset C$（$C$ が閉なので adherence が $C$ に留まる）。$\mathcal{F}$ を可算基・可算完備に選べば他の2バリアントも同様。
注意（本文の強調）: この証明は分離公理を一切使わない（Hausdorff性等は不要）。次の Prop VIII.3.16（コンパクト⟹閉、Hausdorff必須）との非対称性が対比される。
本ノート RoyalRoad.ChapterVIII.prop_VIII_3_14（IsCompact.of_isClosed_subset、分離公理不要、Notes/ChapterVIII.lean、lake build 済み）