📐 Proposition XV.3.5（コンパクト定義域上の連続写像は一様連続：Heine の一般化）
- 📐 Proposition XV.3.5（コンパクト定義域上の連続写像は一様連続：Heine の一般化） #Card
- コンパクト性が連続性から一様連続性を自動的に生む、という Heine の定理を preuniformity 一般でどう証明するか。
$\mathcal{P}$ が preuniformity で $\lambda\mathcal{P}$ がコンパクト、$f\in C(\lambda\mathcal{P},\lambda\mathcal{R})$ なら $f\in U(\mathcal{P},\mathcal{R})$。
証明（コンパクト性による被覆の圧縮）: $R\in\mathcal{R}$ とする。各 $x\in X$ に対し連続性からある $P_x\in\mathcal{P}$ で $P_xx\subset f^-(Rf(x))$。${P_xx:x\in X}$ は $\lambda\mathcal{P}$-被覆なので、コンパクト性から有限部分被覆 ${P_xx:x\in F}$（$F$ 有限）が取れる。$P:=\bigcap_{x\in F}P_x\in\mathcal{P}$ とすると $Px\subset f^-(Rf(x))$（すべての $x$ で）、よって一様連続。
これは cards/topology/thm-xii-1-13-heine-uniform-continuity（距離空間版 Heine の定理）を、コンパクト性・一様連続性ともに preuniformity の言葉に一般化したもの — 距離の $\varepsilon$-$\delta$ ではなく被覆のコンパクト性だけで証明が完結する。